Qual è la somma dei numeri da 1 a 100?

Gli alunni della classe 1aD (a.s. 2010-2011) nel primo mese di scuola hanno incontrato il loro primo vero problema...A pagina 39 del libro di aritmetica l'esercizio numero 114, intitolato "La sfida: trova la formula", li ha messi seriamente in difficoltà! E come non capirli! Vediamo di che si tratta.
L'esercizio consisteva nel ragionare sulla somma di numeri naturali da 1 a n per trovare una formula generale tale da permettere di addizionare velocemente per esempio i numeri da 1 a 100. Prendiamo i numeri da 1 a 4. La loro somma è 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Prendiamo i numeri da 1 a 8. La loro somma è 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36. Si può notare che nel primo caso 10 = 5 x 2 e nel secondo caso 36 = 9 x 4. Cioè

Applichiamo lo stesso ragionamento alla seconda somma. Basta fare la somma del primo e dell'ultimo (1 + 8 = 9) e moltiplicarla per la metà dell'ultimo numero (8 : 2 = 4) e si ottiene la somma dei numeri da 1 a 8 molto velocemente, cioè 9 x 4 = 36. Allora per trovare la formula generale potremmo ragionare nella maniera seguente: se devo sommare i numeri da 1 a n, basta moltiplicare il successivo dell'ultimo numero, cioè n + 1, per la metà di n, cioè n/2...E allora ecco la formula generale:

(n + 1) x n2.

Fate la prova con i due casi precedenti e vedrete che la formula funziona. E ora ditemi qual è la somma dei numeri da 1 a 100? Ora che avete la formula non pensate nemmeno di scriverli tutti!!!
In realtà tutti i numeri che vengono ottenuti con questa formula vengono chiamati numeri triangolari.

I numeri triangolari
(http://digilander.libero.it/basecinque/numeri/numpol01.gif)

Guardando il disegno sopra, mi sapreste dire perché?
Gli antichi matematici conoscevano bene questa serie di numeri triangolari e i pitagorici chiamavano il numero dieci anche tetractys, poiché esso rappresentava il numero sacro dell'Universo. Il dieci conteneva la somma di tutte le dimensioni geometriche possibili. Infatti il punto è il generatore delle dimensioni, due punti determinano una linea a una dimensione, tre punti (non allineati) determinano un triangolo con un'area a due dimensioni, e quattro punti (non giacenti in uno stesso piano) determinano un tetraedro con un volume a tre dimensioni. La somma dei numeri rappresentanti tutte le dimensioni (1 + 2 + 3 + 4 = 10) è pertanto il venerato numero 10!

Attenzione ragazzi...guardate un po' il quesito numero D21 della prova Invalsi 2008-2009? Sapete risolverlo ora...? Fatemi sapere!



Referenze
Carl B. Boyer "Storia della matematica". Oscar Saggi Mondadori.
Zarattini M., Aicardi L, "Matematicamente". Edizioni Scolastiche Bruno Mondadori. Volume: "Numeri 1", pag. 39.

Ciao, Manuela (manuela_casasoli@yahoo.it).