Figure...una dietro l'altra!

Fin dall'alba dei tempi l'uomo ha prodotto semplici serie di disegni che testimoniano un suo innato interesse per le relazioni geometriche. Badate bene stiamo parlando dell'uomo neolitico, circa 10.000 anni fa!
Guardate la seguente serie di figure:


La prima figura composta da 1 triangolino, la seconda figura composta da 4 triangolini, la terza figura composta da 9 triangolini.
Da quanti triangolini sar composta la tredicesima figura?
Che relazione esiste tra la lunghezza del lato di ogni figura e il numero di triangolini contenuti in ognuna di esse?
Attenzione ragazzi, questi problemi "piacciono" molto ai "signori dell'Invalsi" e questo quesito era presente nella prova d'esame del 2010. Nonostante lo avessi fatto fare in classe a maggio (Esercitazione del 3 maggio 2010, esercizio numero 12), molti ragazzi lo hanno sbagliato o addirittura non hanno risposto... e allora, ragazzi miei, che aspettate a capirlo? Non esitate a chiedere spiegazioni se non vi risultasse chiaro!

Referenze
Carl B. Boyer "Storia della matematica". Oscar Saggi Mondadori.

Ciao, Manuela (manuela_casasoli@yahoo.it).