Achille e la tartaruga

http://www.latartarugaracconta.com/images/logo-1a.gif

Zenone di Elea verso il 450 a.C.si divertì a formulare i suoi paradossi che per molti secoli rimasero argomento di dibattito scientifico e filosofico. Ecco qui quello forse più famoso.
Achille, soprannominato "piè veloce", vuole gareggiare con una tartaruga. Conoscendo le sue doti di velocista, decide di dare alla tartaruga un certo vantaggio. Riuscirà il veloce Achille a raggiungere e superare la tartaruga? Ebbene ragionando e riragionando, Zenone concluse che Achille, per quanto veloce possa correre, non potrà mai superare la tartaruga, per quanto lenta questa possa essere. Infatti quando Achille avrà raggiunto la posizione iniziale della tartaruga, questa avrà percorso un certo spazio, più breve del vantaggio iniziale, ma pur sempre un certo spazio. Quando Achille avrà percorso questa nuova breve distanza, la tartaruga si sarà spostata ancora un po' più avanti. Per quanto il vantaggio della tartaruga si riduce, proseguendo questo ragionamento all'infinito, non sarà mai uguale a zero.
E allora? Achille non raggiungerà mai la tartaruga...
So per certo che tutti voi sarete già pronti con mille argomenti per confutare questo ragionamento...ma pensate che i matematici sono riusciti a risolvere il paradosso solo nel XVII secolo! Infatti il tempo che ci mette Achille a raggiungere la tartaruga è la somma di infiniti numeri che diventano sempre più piccoli. Essendo infiniti temini si potrebbe, a naso, concludere che anche la loro somma sia infinita...e quindi Achille impiegherebbe un tempo infinito per raggiungere la tartaruga...Ma la matematica riserva sempre sorprese. Infatti la somma:
12 + 13 + 14 + 15 +... è infinita, ma la somma:
12 + 14 + 18 + 116 + 132 +... è uguale a 1!!!!
Ma che strano!!! Da grandi, quando studierete le serie, somme di infiniti termini, vi renderete conto che ne esistono di due tipi: divergenti come la prima, la cui somma diverge all'infinito, e convergenti come la seconda, la cui somma è finita. Ebbene la serie che si ottiene sommando tutti i tempi che Achille impiega per percorrere gli spazi sempre più piccoli che lo separano dalla tartaruga è convergente!!! E allora Achille la raggiunge o no questa tartaruga?

Ora però lasciamo l'affascinante matematica, torniamo alla realtà fisica e risolvete questo problema: Achille dà alla tartaruga un vantaggio di 150 m. Sapendo che la velocità di Achille è 10 m/s e quella della tartaruga 5 m/s, dopo quanti secondi Achille avrà raggiunto la tartaruga?
Pensate al moto rettilineo uniforme e alle equazioni e risolverete facilmente il problema!

Referenze
Carl B. Boyer "Storia della matematica". Oscar Saggi Mondadori.
Filocamo G. "Mai più paura della matematica. Come fare pace con numeri e formule". Kowalski.
Achille e la tartaruga per chi è già alle superiori... dal sito del Prof. Pluchino http://www.pluchino.it/blablabla.htm
Achille e la tartaruga per chi è già alle superiori... di Alberto Viotto.

Ciao, Manuela (manuela_casasoli@yahoo.it).