Insieme di Mandelbrot Created by Wolfgang Beyer with the program Ultra Fractal 3. - Opera propria, CC BY-SA 3.0

Proprio così, i frattali hanno aperto la strada a una nuova relazione tra geometria e natura. La geometria frattale descrive meglio di quella euclidea l'irregolarità delle forme naturali. Troviamo frattali nella forma delle nuvole, nella ramificazione degli alberi, nei profili delle montagne, nella distribuzione delle galassie, nell'andamento caotico delle acque turbolenti. Non ne parleremo in questo approfondimento, ma i frattali descrivono bene anche l'andamento del mercato azionario così come molti fenomeni legati alle dinamiche di Internet. La statistica gaussiana non è adatta per fare previsioni economiche. Le variazioni dei mercati finanziari possono, invece, essere spiegate mediante un modello frattale o multifrattale.
La descrizione geometrica della natura è tanto necessaria quanto difficile. Galileo disse che il grande libro della natura è scritto in caratteri matematici, Newton elevò la matematica a regina delle scienze, il cui obiettivo primario è quello di comprendere l'alfabeto della natura. In natura è tuttavia difficile trovare linee rette, triangoli e cerchi. Nell'ottocento arrivarono i primi tentativi di usare geometrie diverse da quella euclidea per descrivere alcuni fenomeni naturali. Nacque così la geometria non-euclidea di Lobacevskij, Bolyai e Riemann. Sarà questa la geometria della teoria della relatività generale di Einstein. Alla fine dell'ottocento, altri due grandi matematici, Cantor e Peano, introdussero il concetto di infiniti di ordine diverso e curve che riempiono superfici, algoritmi che produssero "mostri matematici", erano gli albori dei frattali.
Queste curve erano in grado di descrivere una costa geografica e il problema della lunghezza delle coste trovò nei frattali una buona soluzione matematica. Infatti, le coste sono piene di irregolarità. Come misurare precisamente la loro lunghezza? Non è un problema da poco, tanto che ha tenuto impegnati molti matematici, quando ci si accorse che la stima della lunghezza delle coste era variabile a seconda di chi faceva la misura e dell'unità di misura utilizzata. Se, però, è una curva frattale a descrivere la lunghezza della costa allora la stima è molto più precisa. La geometria frattale, quindi, si impone come modello dei processi naturali. La natura non è frattale, ma la geometria frattale è una migliore approssimazione di molti fenomeni naturali rispetto alla geometria euclidea. Arriviamo, finalmente, all'articolo che è uscito recentemente su Science. Tutti noi abbiamo guardato un broccolo romanesco: la stessa struttura si ripete sempre simile a sé stessa. Un esempio naturale perfetto di auto-similitudine.

Cauliflower fractal forms arise from perturbations of floral gene networks Fonte dell'immagine Azpeitia et al. (2021)

La struttura frattale di un broccolo romanesco, di un fiore, di una pigna può essere spiegata dal punto di vista biologico? Qual è il processo di biologia cellulare alla base di questo sviluppo morfologico? Questa è la domanda a cui ha risposto l'articolo di Science.
Il termine botanico fillotassi indica lo studio di come foglie, fiori, rami e altre strutture delle piante si distribuiscono nello spazio, originando temi geometrici. La successione di Fibonacci e il rapporto aureo si ritrovano spesso contando i petali dei fiori o le spirali delle strutture vegetali. È stato dimostrato che la dinamica cellulare degli organi nascenti determina la crescita a spirale di molte strutture vegetali. Il processo di organogenesi è "abbastanza ripetitivo", una proprietà dei frattali! Non è difficile immaginare un po' di matematica nei processi di morfogenesi. Basti pensare che una cellula si divide in due, poi da queste se ne originano altre due, cosa vi fa pensare questa sequenza? Certi meccanismi di inibizione da contatto tra le cellule possono poi fare il resto e originare una fillotassi di Fibonacci.
Nel caso dei cavolfiori, si evidenzia un'insolita disposizione di molte spirali l'una dentro l'altra. Questa organizzazione chiaramente frattale e autosimilare è stata ora spiegata al livello molecolare. I genetisti hanno utilizzato la pianta modello Arabidopsis thaliana. È una pianta erbacea molto studiata in laboratorio perché è facile da manipolare geneticamente. Le sue foglioline si innestano sul delicato fusticino seguendo un andamento a spirale, la sua fillotassi, cioè, può essere considerata come un modello per studiare lo sviluppo di spirali e motivi frattali nelle strutture vegetali. I ricercatori hanno quindi prodotto dei mutanti di Arabidopsis in cui i geni coinvolti nello sviluppo morfologico non funzionavano. In questo modo potevano osservare cosa accadeva alla "spirale" delle foglie sullo stelo quando uno di questi geni era stato modificato. La concentrazione degli ormoni, come l'auxina, il tasso di produzione e di crescita degli organi, l'intervallo di tempo che passa tra la formazione di un organo e l'altro sono regolati da una rete di geni che interagendo tra di loro determinano la formazione, spesso geometrica, dei nuovi organi. Confrontando i mutanti con le piantine selvatiche è stato possibile identificare i processi molecolari che regolano lo sviluppo degli organi, originando i "temi frattali" nelle piante. In particolare, i ricercatori hanno capito che nel caso del broccolo romanesco i meristemi delle gemme, programmati per diventare fiori, non ci riescono e diventano, invece, steli. Questi cercano di produrre fiori, ma lo sviluppo si blocca e si ripete. La ripetizione di questo processo provoca una serie di steli su steli, che non riescono a formare fiori. Ecco, quindi, che si origina un'infiorescenza a struttura piramidale composta da piramidi più piccole, determinando l'aspetto frattale.
In questo articolo la genetica, la biologia molecolare e la geometria frattale, quindi la matematica, svelano insieme come le strutture di una pianta prendono forma.

Manuela Casasoli (manuela_casasoli@yahoo.it) - Pubblicato il 19 luglio 2021