Edward Norton Lorenz e le previsioni metereologiche

Il grande astrofisico Stephen Hawking, scomparso nel 2018 (leggi anche Grazie Stephen!), ha scritto un libro divulgativo uscito nel 2011 in cui spiega proprio cosa si intende per legge di natura (leggi anche Leggi di natura secondo Hawking). Hawking descrive come la scienza spieghi, in parte, il mondo mediante il determinismo scientifico. Un insieme completo di leggi determina il passato, il presente e il futuro dell'Universo, note le condizioni iniziali. Ecco, non è proprio così.
Nel 1962, Edward Norton Lorenz (1917-2008) stava lavorando a simulazioni al computer per poter migliorare le previsioni metereologiche. Aveva costruito un modello matematico che teneva conto dei dati di temperatura, umidità, velocità del vento. Usando i dati di queste variabili in un certo momento, Lorenz calcolava la loro variazione nel tempo, facendo previsioni metereologiche per il futuro (giorni o settimane). Un giorno, però, decise di far girare il suo programma di previsioni metereologiche una seconda volta, usando gli stessi dati iniziali. Ebbene, ottenne previsioni completamente diverse! Cercando di capire cosa fosse successo, si accorse che nella seconda simulazione i valori di alcuni dati erano stati approssimati a una diversa cifra decimale. Nonostante la differenza nel valore iniziale fosse minore dello 0,1 %, la previsione fornita dal programma era completamente diversa.
Lorenz chiamò questo fenomeno effetto farfalla. È molto famosa la sua domanda: "Può il battito delle ali di una farfalla in Brasile scatenare un tornado in Texas?". L'effetto farfalla si verifica ogni volta che un fenomeno naturale risulti particolarmente sensibile alle condizioni iniziali, per cui anche una minima variazione delle variabili che descrivono lo stato iniziale di un sistema, ne determina un'evoluzione sostanzialmente imprevedibile. Soffermiamoci su questo concetto.

Lorenz attractor

Provate a utilizzare i due pendoli interattivi del seguente sito Chaos theory. Nel primo esempio c'è un pendolo semplice. L'oscillazione di un pendolo semplice è un fenomeno fisico completamente deterministico, cioè segue le leggi del moto e della gravità di Newton. Anche voi quattordicenni avete tutti gli strumenti matematici per capire come funziona il pendolo semplice e usarlo, per esempio, per avere una stima dell'accelerazione di gravità (La 3D (2018-2019) e l'accelerazione di gravità). Basta, però, considerare un pendolo doppio, cioè due pendoli attaccati uno all'estremità dell'altro, per avere a che fare con il cosiddetto caos deterministico. Il pendolo doppio segue sempre le leggi di Newton, tuttavia, il suo moto sembra del tutto irregolare e, soprattutto, variando anche minimamente le condizioni iniziali, si ha un'evoluzione dell'andamento del pendolo apparentemente imprevedibile. Quest'anno abbiamo studiato il moto rettilineo uniforme. Sappiamo che la sua legge oraria è s=vt. Usando la legge oraria del moto possiamo pevedere che, considerata una velocità di 40 km/h, dopo un'ora, il corpo avrà percorso 40 km. Se consideriamo un tempo di percorrenza doppio, due ore, anche lo spazio percorso sarà doppio, cioè 80 km. Ebbene, questi fenomeni sono descritti da equazioni lineari deterministiche. Un esempio potrebbe essere quello in cui una causa a ha un effetto b e una causa 2a ha un effetto 2b, per dirla in maniera molto semplice. La legge di gravità formulata da Netwon descrive bene l'interazione tra due masse. Cosa accade, invece, quando i corpi non sono due ma sono tre? Lo descrisse il fisico e matematico Henri Poincaré (1854-1912) nei suoi studi sul famoso problema dei tre corpi.

L'effetto farfalla (Fonte dell'immagine)

Nel 1903 Henri Poincaré scriveva: "Una causa molto piccola, che ci sfugge, determina un effetto considerevole che non possiamo non vedere, e allora diciamo che questo effetto è dovuto al caso. Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la situazione dell'universo nell'istante iniziale, potremmo predire con la medesima precisione la situazione dell'universo in un istante successivo. Ma quand'anche le leggi naturali non avessero più segreti per noi, potremmo conoscere la situazione iniziale solo in modo approssimativo. Se questa approssimazione ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, questo ci basterebbe per poter dire che il fenomeno è stato previsto, che è governato da leggi: ma non è sempre così e può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali generino differenze grandissime nei fenomeni finali; un piccolo errore nelle prime produrrebbe un errore enorme negli ultimi. La predizione diventa allora impossibile e ci troviamo di fronte al fenomeno fortuito".
Questo è il caos deterministico. La maggior parte dei fenomeni naturali non è descritta da equazioni lineari, bensì da equazioni differenziali non lineari (che studierete da grandi!). Già, l'interazione gravitazionale a tre corpi, invece che due, è caotica, piccole variazioni nelle condizioni iniziali generano differenze enormi nei risultati finali. Quasi tutti i fenomeni naturali sono descritti dal caos deterministico, per esempio in fisica il moto dei pianeti nelle orbite intorno a una stella, in biologia la dinamica delle popolazioni negli equilibri preda-predatore (o perché no, ospite-patogeno, quindi, SARS-Cov-2/Homo sapiens!) e molti sistemi economici sono ugualmente intrinsecamente caotici.
Consideriamo i calcoli che possono essere fatti per il sistema solare. C'è una probabilità finita che nei prossimi 3,5 milioni di anni Mercurio venga espulso dalla sua orbita e vada a collidere con Venere. C'è una probabilità finita che le interazioni tra asteroidi, Giove e Saturno portino a movimenti "caotici" e "imprevedibili" degli asteroidi della fascia principale. Queste previsioni derivano da un certo modello del sistema solare e non dall'osservazione dei dati. Per questo motivo non c'è certezza che si verifichino.
Dal punto di vista strettamente matematico i sistemi caotici sono simili ai frattali. Ecco che ritorna questa nuova geometria, di cui ci siamo occupati qualitativamente quest'anno. Studierete che nel caos deterministico uno strumento matematico utile a descrivere le caratteristiche dei moti caotici è l'attrattore di Lorenz. Questa funzione matematica assume quasi la forma di una farfalla nel caso in cui descriva traiettorie caotiche!
La teoria del caos deterministico cerca di spiegare matematicamente fenomeni naturali caotici, fornendo una descrizione matematica rigorosa dell'imprevedibilità del caos. Questa descrizione matematica permette di definire anche un limite temporale oltre il quale non si può sapere come evolverà un fenomeno. Ecco, quindi, che il sistema solare, pur essendo un sistema dinamico attualmente abbastanza "determinato" da leggi che ne prevedono l'andamento, è destinato a diventare caotico in futuro.
La matematica dei frattali e del caos non è alla nostra portata, ma è importante capire che esistono branche di questa disciplina che nascono ed evolvono continuamente con l'obiettivo di rappresentare al meglio la complessità dei fenomeni naturali.
Come diceva Edward Norton Lorenz: "Mathematicians seem to have no difficulty in creating new concepts faster than the old ones become well understood".

Manuela Casasoli (manuela_casasoli@yahoo.it) - Pubblicato il 26 dicembre 2021