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| Maths in a minute: "R nought" and herd immunity |
Matematica e pandemia
Cari ragazzi è tempo di approfondire alcuni argomenti matematici legati alla pandemia. Avevo già parlato del tasso di riproduzione di base,
R0, qualche anno fa (leggi anche
Vaccinarsi è un atto di altruismo). Ora che questo numero è sulla bocca di tutti, dobbiamo capire bene di cosa di tratta per poter
ricavare informazioni utili.
Il numero R0 è il numero medio di persone che un malato infetta durante il suo periodo di contagiosità (o "generazione"),
quando l'intera popolazione è suscettibile.
Questo valore è stimato tra 2,0 e 2,5 per il SARS-CoV-2, per i ceppi influenzali stagionali è compreso tra 0,9 e 2,1, per il
morbillo è 12-18. Come avete letto in
Vaccinarsi è un atto di altruismo, se R0 = 2 in trenta "generazioni"
il numero di individui infettati supererebbe i due miliardi, in 32 "generazioni"
l'intera popolazione mondiale sarebbe infettata. Tutto questo nel caso in cui il virus sia libero di circolare.
Se invece R0 fosse minore di 1, la situazione sarebbe molto diversa. Infatti, nel caso di un valore di 0,5, in una "generazione" 10
persone ne infetterebbero altre 5, ma in questo caso il numero di infettati non crescerebbe
esponenzialmente, anzi, dato che i malati guarirebbero nel tempo, il numero totale
di infettati tenderebbe gradualmente a diminuire e l'epidemia
finirebbe, come si vede dalla figura sottostante.
Questo è il motivo fondamentale per cui questo valore è tenuto
costantemente sotto controllo in questo periodo di pandemia.
L'obiettivo mondiale è, infatti, quello di diminuire il numero di contagiati
nel più breve tempo possibile.
Per raggiungere questo obiettivo, i governi di tutto il mondo varano le misure di contenimento. L'utilizzo corretto delle mascherine
e la limitazione degli spostamenti stando il più possibile in casa
servono a questo, come sappiamo. A questo punto della pandemia dobbiamo, comunque,
essere ottimisti perché 1) molti hanno superato la malattia e 2) sono
arrivati i vaccini. Bisogna allora parlare del valore R non più
R0. Si può scrivere che R = s R0, dove
s è la proporzione di popolazione suscettibile. La percentuale di popolazione suscettibile è, infatti, diminuita.
Se la metà della popolazione
è suscettibile, ovvero s = 1/2, e R0 = 2, allora
R = s R0 = 1.
Questo è il primo passo verso l'immunità di gregge.
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| Maths in a minute: "R nought" and herd immunity |
L'immunità di gregge è un'espressione che descrive la situazione in cui una certa percentuale della popolazione è immunizzata e questo permette
anche a coloro che non lo sono di essere protetti, poiché il virus non ha la possibilità di circolare. È questo un obiettivo prioritario per
proteggere chi non può vaccinarsi. Per ottenere l'immunità si deve avere R = sR0 < 1 da cui s < 1/R0.
La proporzione di popolazione non suscettibile è 1 - s, quindi possiamo scrivere che:
1 - s < 1 - 1/R0.
La stima dell'indice R0 = 2,5 per il virus SARS-CoV-2 ci permette di concludere che ci vuole una proporzione di almeno il
60 % di popolazione immune per raggiungere l'immunità protettiva detta di gregge. Con il vaccino ce la possiamo fare!
Ovviamente il virus si evolve e muta... Gli scienziati hanno scelto la proteina spike per disegnare i vaccini e le mutazioni individuate fino a questo momento
non ne mettono a rischio l'efficacia, fortunatamente.
Il valore R non ci dice, però, quanto velocemente la situazione epidemiologica stia cambiando, infatti non è un parametro che misura una "velocità". Supponiamo che morbillo e HIV abbiano lo stesso valore R = 2. Ebbene, le due infezioni non si diffonderanno alla stessa maniera
pur avendo lo stesso valore di R.
L'infezione, infatti, si diffonderà più velocemente nel caso del morbillo perché il virus si trasmette per via aerea,
ha quindi una "generazione" molto breve (giorni) rispetto al
virus HIV che, essendo sessualmente trasmissibile, ha una "generazione" piuttosto lunga (mesi), come si vede nella figura sottostante.
La modalità di trasmissione determina quindi il tasso di diffusione dell'epidemia.
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| The growth rate of COVID-19 |
Il virus SARS-CoV-2 si trasmette per via aerea quindi la crescita del numero degli infettati, in assenza di misure precauzionali, è esponenziale.
Il parametro che più di ogni altro
bisognerebbe considerare per valutare l'andamento giornaliero della pandemia è proprio il tasso di crescita,
non tanto il valore di R.
Infatti, il valore di R, è utile per programmare gli interventi di contenimento. Per esempio, se è uguale a 1,5 è necessario ridurre
la trasmissione di un terzo, se è uguale a 2 bisogna vaccinare il 50 % della popolazione.
Il tasso di crescita è, invece, il parametro naturale per giudicare come l'epidemia sta evolvendo nel tempo. Se è uguale a 0,01 significa che i casi
aumentano dell' 1 % ogni giorno, se è uguale a -0,02 significa che i casi diminuiscono del 2 % ogni giorno. Questo è quindi un parametro
che ci dice cosa sta accadendo in un determinato momento e ci permette di fare una previsione su quello che succederà il giorno seguente.
Se R è maggiore di 1 e il tasso di crescita maggiore di 0, si avrà una crescita esponenziale, se il primo è uguale a 1 e il
secondo uguale a 0, la situazione rimarrà stabile, se il primo è minore di 1 e il secondo minore di 0, allora si avrà una diminuzione dei casi.
Entrambi i parametri non sono semplici da stimare e le loro fluttuazioni quotidiane andrebbero fornite con l'errore sulla stima, per capire se la
loro variazione giornaliera è significativa oppure no. Alternativamente, si potrebbe fornire una stima non giornaliera, ma mediata su un periodo di tempo
più lungo.
Tenendo conto di entrambi questi parametri vengono fatte delle simulazioni per capire come le misure di contenimento possano incidere sull'andamento della pandemia.
Purtroppo si è visto che pochi giorni di relativa libertà determinano rapidamente, in una situazione come quella attuale, un aumento dei due valori e
quindi una recrudescenza dell'epidemia.
Non c'è altro da fare che vaccinarsi, quando sarà il nostro turno e, nel frattempo, rispettare tutte le regole di contenimento, stando il più
possibile a casa... Con una montagna di libri da leggere!
Manuela Casasoli (manuela_casasoli@yahoo.it)