Armonici naturali

Da Pitagora in poi matematica e musica sono spesso state associate. Nel 1722, il compositore Jean-Philippe Rameau diceva "Nonostante tutta l'esperienza che io possa aver acquisito nella musica per il fatto di essermi associato tanto a lungo con essa, devo confessare che solo con l'aiuto della matematica le mie idee si sono chiarite."
Il grande matematico Eulero (1707-1783) amava suonare il clavicembalo dopo una giornata di calcoli. Un altro gigante della matematica, Leibniz (1646-1716), diceva che "la musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare". La connessione tra matematica e musica deriva anche dal fatto che entrambe sono discipline estetiche. I bravi matematici sono anche interessati alla bellezza delle loro dimostrazioni. Il matematico inglese Hardy (1877-1947) affermava di "essere interessato alla matematica solo come arte creativa" e secondo lui in matematica "le idee devono combinarsi in maniera armonica. La bellezza è la prima verifica: non c'è posto duraturo al mondo per la brutta matematica".
Ritorniamo, però, alla fisica del suono per arrivare ancora più lontano nella relazione tra numeri e musica... Abbiamo detto che le armoniche sono responsabili del timbro distintivo di uno strumento. Per esempio il clarinetto produce solo le armoniche che corrispondono a frazioni dispari (1/3, 1/5, 1/7, ...), mentre le vibrazioni delle corde del violino producono tutte le armoniche (1/2, 1/3, 1/4, ...), come quelle che produsse Pitagora. I matematici furono affascinati da questa relazione e ben presto iniziarono a pensare alla somma infinita dei reciproci dei numeri naturali: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, ..., che chiamarono, non a caso, serie armonica.

Funzione zeta di Riemann

Eulero inziò a interessarsi della serie armonica quando capì il suo legame con un'altra funzione matematica sulla quale stava lavorando e che sarebbe diventata una delle funzioni più affascinanti della matematica. Questa era la funzione zeta: ζ(x)=1/1^x+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x+.... Se x = 1, allora la funzione zeta diventa la serie armonica. In questo caso Eulero dimostrò che sommando tutti i termini si ottiene come risultato "il numero infinito", si dice che la serie diverge. Tuttavia, Eulero dimostrò che se x = 2 la serie non diverge, ma ha come somma un numero particolare. Cioè, la somma di tutti i reciproci dei quadrati dei numeri naturali è, pensate un po', 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = π²/6! Addirittura la somma di questa serie infinita era un numero irrazionale! Nel risultato di questa somma c'era uno dei numeri irrazionali più intriganti di tutta la storia della matematica, il pi greco. All'epoca di Eulero, questo risultato fu quasi sconvolgente!
Eulero cominciò a sostituire i valori di x nella funzione zeta e dimostrò che la funzione diverge per x = 1, converge (cioè ha un risultato finito) per x > 1, ma diverge per x < 1, in questo ultimo caso cioè è uguale a infinito. Cosa diventa la funzione se x = -1?
Giocando con questa funzione, Eulero trovò un modo per esprimere la somma di tutte le frazioni della serie armonica come prodotto delle frazioni che contenevano solo numeri primi... Quello che ottenne è noto come prodotto di Eulero, lo dimostreremo in seguito, se siete curiosi. Quello che ci interessa sapere qui è che questa funzione fu ripresa successivamente da altri matematici, Dirichlet (1805-1859) e, soprattutto, Riemann (1826-1866). Costoro la misero definitivamente in relazione con i numeri primi. Mediante il prodotto di Eulero si poteva dimostrare che i numeri primi erano infiniti, risultato già ottenuto da Euclide (I numeri primi sono infiniti...), ma soprattutto grazie alla funzione zeta si poteva ottenere la distribuzione dei numeri primi. E se c'è una cosa che ha sempre affascinato i matematici di tutti i tempi è proprio quella di avere un sistema per prevedere dove si troverà il prossimo numero primo nella sequenza dei numeri naturali! Questo, però, è un argomento molto difficile, solo gli esperti possono capirlo e affrontarlo. Infatti, la famosa ipotesi di Riemann sulla distribuzione dei numeri primi a partire dalla funzione zeta non è stata ancora dimostrata... Chi lo farà sarà annoverato tra i più grandi matematici della storia!
Siamo partiti da un suono, un'onda meccanica, siamo passati per una somma infinita di numeri, siamo arrivati a uno dei problemi aperti più importanti della matematica... Questa è la vera bellezza di questa disciplina!

Manuela Casasoli (manuela_casasoli@yahoo.it)