Quel teorema che tutti conoscono...

Cari ragazzi quello di Pitagora è sicuramente il teorema più famoso al mondo. Tutti lo hanno applicato e se lo ricordano anche molto tempo dopo aver lasciato i banchi di scuola. In questo approfondimento capiremo che questo non è solo il teorema più conosciuto, ma è soprattutto un egregio esempio di come una "piccola idea matematica" abbia "grandi e inaspettate" conseguenze.
Pitagora è nato nel 570 a.C. circa e nel 530 a.C. si trasferì a Crotone, colonia greca nella costa orientale della Calabria, dove fondò una scuola a carattere filosofico-religioso. Il numero era l'elemento fondamentale dell'Universo secondo i Pitagorici. Non è affatto sicuro che il teorema venne formulato e dimostrato da Pitagora o da uno dei suoi discepoli, ma è comunque passato alla storia con il suo nome. Nell'antichità il teorema di Pitagora era enunciato a parole e qualche volta utilizzato senza avere la consapevolezza che si stesse applicando una regola generale, come probabilmente facevano i babilonesi. Questi sapevano che la diagonale del quadrato era uguale al lato motiplicato per 1,41..., cioè la radice quadrata di due, ma non sapevano di applicare il famoso teorema. Solo nel 250 a.C. il grande Euclide di Alessandria, che trasformò la geometria in logica, enunciò il teorema di Pitagora nella preposizione 47 del primo libro degli Elementi dimostrandolo. Solo dopo un paio di migliaia di anni, il teorema venne espresso algebricamente: a² + b² = c².

Se è in dubbio che Pitagora abbia dimostrato "il suo" teorema, sembra invece probabile che sia stato uno dei primi a capire che la Terra fosse simile ad una sfera e non certo piatta! Ironia della sorte, è proprio il teorema di Pitagora che ha fornito il primo strumento matematico necessario per la cartografia, la navigazione e l'agrimensura in una Terra "sferica"! Infatti, studierete in futuro un ramo della matematica che si chiama trigonometria, (letteralmente "misurazione dei triangoli"). Se è vero che il teorema di Pitagora è valido solo nei triangoli rettangoli, in trigonometria esiste una sua generalizzazione valida per tutti i triangoli, il cosiddetto teorema del coseno. Indichiamo con a, b e c le lunghezze dei tre lati di un triangolo rettangolo, con α l'angolo retto opposto all'ipotenusa a, con β l'angolo opposto al cateto b e con γ quello opposto al cateto c. Le tre funzioni trigonometriche seno, coseno e tangente sono definite come sen(β) = b/a, cos(β) = c/a e tg(β) = b/c = sen(β)/cos(β).
Il teorema del coseno dice che a² = b² + c² - 2b·c·cos(α), questo è il teorema di Pitagora generalizzato! Se l'angolo α misura 90° (cos(90°) = 0) diventa il teorema che conoscete. Grazie alla trigonometria si è sviluppata la geodesia, cioè la scienza della misurazione della Terra. Nel 1615 il matematico olandese Snellius introdusse la triangolazione per misurare distanze sfruttando le proprietà dei triangoli. La cartografia e la geodesia divennero così più precise. Oggi si usa il GPS (Global Positioning System) che sfrutta i dati satellitari, ma dietro le quinte c'è sempre la triangolazione e quindi Pitagora!
Le vicende del teorema più famoso al mondo non finiscono certo qui...

(Immagine ripresa da Wikipedia)

Il teorema di Pitagora ha avuto un ruolo importante anche nello sviluppo del piano cartesiano e della geometria analitica, introdotta da René Descartes, noto come Cartesio (1596 - 1650). Osservate l'equazione di una circonferenza con centro corrispondente all'origine degli assi di un piano cartesiano: x² + y² = r². Non vi ricorda niente? E il bello deve ancora venire...
È nel diciannovesimo secolo che il grande matematico e fisico tedesco Johann Carl Friedrich Gauss inizia a porre le basi per una geometria non-Euclidea, cioè la geometria dello spazio curvo, non piano come quello di Euclide. Immaginate di prendere un foglio di carta rettangolare e di avvolgerlo intorno a un cilindro. Bene, questo si può fare, il foglio si adatta perfettamente. Ora provate ad avvolgerlo intorno a una sfera. Ebbene, non ci riuscirete senza piegarlo e strapparlo. Questo accade perché ci sono superfici curve di diversa natura. In particolare, in quella sferica il teorema di Pitagora, così come lo conosciamo, non è soddisfatto! E anche la somma degli angoli interni di un triangolo non è più 180° (pensate ad un triangolo disegnato su un palloncino...). Fu proprio uno studente di Gauss, Georg Friedrich Bernhard Riemann, a sviluppare una metrica del tutto particolare per "costruire", diciamo così, una geometria curva. Egli si inventò la cosiddetta varietà, cioè un sistema di più coordinate e di una formula che fornisce la distanza tra due punti nello spazio curvo. Se un giorno arriverete a studiare "questa matematica" vi accorgerete che la metrica in questione contiene evidenti resti del molto più semplice teorema di Pitagora. Cinquant'anni dopo Riemann, Einstein utilizzò questa geometria non-euclidea per descrivere la curvatura dello spazio-tempo nella sua teoria della Relatività Generale, che descrive la forza di gravità.
L'equazione di Pitagora ha preso forma per la prima volta circa 3500 anni fa per consentire la misurazione di appezzamenti di terreno agricolo. L'estensione di questa relazione a triangoli non rettangoli, e dai triangoli alle superfici sferiche, ci ha permesso di cartografare i continenti dove viviamo e di misurare le dimensioni del nostro pianeta. E una sua generalizzazione davvero notevole ci permette di valutare le dimensioni dell'Universo. Grandi idee hanno spesso inizi apparentemente di piccolo peso.

Referenze

Ian Stewart (2012) Seventeen Equations that Changed the World. Edited by John Davey, Joat Enterprises, Profile Books Ltd, London.

17 Equations That Changed the World.

Manuela Casasoli (manuela_casasoli@yahoo.it)